三角形

1、角度关系：

（1）三个内角和为180º；三角形的外角和是360°

（2）三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和

2、边角关系：

大角对大边，大边对大角

3、三边关系

已知三条线段a,b,c，构成三角形的条件：

（1）三角形任意两边之和大于第三边

（2）三角形任意两边之差小于第三边

满足：

4、三角形面积面积公式

结 论★

（1）底相等的三角形的面积之比等于其高之比

（2）高相等的三角形的面积之比等于其底之比

（3）同底等高的三角形面积相等

5、三角形五线

一线：中位线

中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半

推论：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边

二线：中线

特点：中线都是在三角形内部。

任何三角形都有三条中线，且交于一点。

每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

三线：角平分线

四线：高线

五线：中垂线

6、特殊三角形★ ★ ★

（1）等腰三角形

特点：两腰相等，两底角相等；底边中线、顶角平分线、底边高三线合一

周长：L=2a+b

面积：

（2）等边三角形

特点： 三边相等、三内角相等、三线合一

、四心合一

周长：设边长为a，周长L=3a

面积：

（3）直角三角形

设两直角边为 a , b, 斜边为 c

周长L=a + b + c

面积

等腰直角

一角30度直角

性质： 五特性 ★ ★

（1） 勾股定理

常用勾股数：

（3.4.5）；（5.12.13）（6.8.10）；

（2）两锐角之和为90º

（3）斜边上的中线等于斜边的一半

（4）两直角边乘积等于斜边与斜边上高的乘积

(5)在直角三角形中，有一个锐角为30º，则这个角所对的直角边等于斜边的一半。

特殊直角三角形的边角关系

（1）等腰直角三角形

三边之比

三内角之比：1:1:2

（2）有一个角30º的直角三角形

三边之比

三内角之比1:2:3

7、证明两个三角形全等

判断方法：

①三条边对应相等（简称：边边边）。

②两条边及两条边的夹角对应相等（简称：边角边）。

③两个角及三角形中任意一条边相等（简称：角角边）

证明两个三角形相似

（1）判断方法：

①两个角相等。

②三条边对应成比例。

③两条边对应成比例，且两条边的夹角相等。

对应边之比=相似比

（2）相似三角形性质：

①对应角相等，对应边成比例。

②对应边上的高线之比=对应边上的角平分线之比=对应边上的中线之比=对应边之比

③两个三角形的周长之比=对应边之比=相似比。

④两个三角形的面积之比=对应边之比的平方=相似比的平方。

8、两类典型三角形图形

四边形

平行四边形

平行四边形性质：

平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。

周长：C=2(a + b)

面积：

重要结论：

平行四边形对角线互相平分，两对角线将其分成4个面积相等的三角形。

矩形

菱形

正方形

梯形

圆

（1）半径为r的圆的周长：

（2）圆的面积：

扇形

扇形弧长

扇形面积

梯形重要结论—蝴蝶定理