初次见你，我是那么讨厌你，后来的生活越来越离不开你，现在你是我心中的女皇。” ——献给美丽的泰勒公式

1. 初识泰勒公式

当我们开始上高数课或数分课大约二个月的时候，就会碰到这个令人生厌的泰勒公式，因为她太麻烦太复杂。一是她有那么多项，二是她要我们求那么多的各阶导数，三是带着一个不知道是几的中值余项，拜托，既然不知道中值是几，还弄出这个余项干么？哦，打住，别抱怨，你会慢慢爱上她的！！！

2.极限问题的核心

当 x>0 很小时，考虑 x、sin x 和 tan x 的差别有多大？回答这个问题首先要确定一个标准，就是他们之间是简单倍数关系？还是“数量级”的不同？对于初学者来说，可能还需要不少脑洞。但对于进阶者来说，马上就可以知道结果，因为当 x→0 时 sin x ～ tan x ～x，三者是等价的，不太确切地说是三者几乎相等(注意不是绝对相等)。哦，你觉得简单说明你已经差不多理解等价无穷小了。

那么进一步，把三者稍微运算一下，看看当 x>0 很小时，tan xㄧsin x 和 x^2 的差别有多大？稍有经验的同学懂得乘积情况下，因子可以用等价无穷小替换来求极限，故前者比后者小的多，因为 tan xㄧsin x=sin x (1ㄧcos x)/cos x～(x^3)/2，他比 x^2 小的多，完全不在一个“数量级”，这里所说的“数量级”其实就是 x 的次数，tan xㄧsin x 相当于 x ^3，他远远小于 x^2 。瞧，这就是阶的比较。

温馨提示： 只要两个无穷小作商，极限为0，我们就说分子是比分母高阶的无穷小。

如果你足够细心，一定发现我们把 tan xㄧsin x 转化为 (x^3)/2 了。这是最普遍的最高效的比较阶的方法，因为幂函数最容易作阶的比较了，x^3 就比 x^2 多一个 x，因此 tan xㄧsin x 是比 x^2 高阶的无穷小。

当 x→0 时，函数 f(x)～cx^k，就说 f(x) 是 x 的 k 阶无穷小，其中 c 和 k 都为非0常数。称 cx^k 是 f(x) 的主项。找到函数各因子的主项就找到了函数的极限。

温馨提示： 为了简化无穷小阶的比较，我们通常把非幂函数转化为幂函数。 极限的核心问题是无穷小阶的问题！

可以看出，函数 tan xㄧsin x 的主项是 (x^3)/2。但是找一个函数的主项不像这个例子一样简单，于是问题来了，如何找函数的主项呢？

3.泰勒公式的威力

一个函数 f(x) 在点 x0 的泰勒展开式是

其中 Rn(x)是余项，可以有两种形式，一种称为拉格朗日余项，即

适用于展开式的误差估计，以及其他更加精细的操作，其中 ξ 介于 x 和 x0 之间。另一种称为皮亚诺余项，即

表示展开式带有这么一个误差项，大致和 (xㄧx0)^n 等价的一个无穷小。

在处理极限问题是我们更多用的是 x0＝0 时的泰勒公式，也称为麦克劳林公式：

例如，sin x 和 tan x 的展开式为：

泰勒公式在求函数极限时有很高的效率，原因在于应用泰勒公式可以方便地求出函数的主项，如 sin x 和 tan x 的主项都是 x，而 tan xㄧsin x 的主项为 (x^3)/2，这是因为 tan xㄧsin x 的泰勒公展式为：

同理 sin xㄧx 的主项为 ㄧ(x^3)/6， sin xㄧx + (x^3)/6主项为 (x^5)/120。

温馨提示： 应用泰勒公式可以方便地求出函数的主项。

许多复杂的函数极限问题，应用泰勒公式都可以完美解决。

4.一个复杂的例子

本例来源于吉米多维奇习题集第1407号问题：

求 tan(sin x)ㄧsin(tan x) 的主项。

因此有下列极限

5.美丽的泰勒公式 高数大厦起极限 阶的比较破万难 敢问阶路在何方 泰勒公式若等闲

玩不转泰勒公式，请不要说“高数我能行”

玩不转泰勒公式，请不要说“我是数学人”