众所周知，我国上个世纪的数学教材中，0不是自然数。新世纪后，教材改版，把0列为自然数。这是为何？

我来解释一下。因为这是康托尔集合论的需要。0和其他自然数有一个共同特性：仅仅做加法和乘法运算时会封闭。

（一）正整数N+

我们知道，最早人类只知道1,2,3,4,……这些数字。而这些数字，有一个共同的特点。那就是仅仅是做“+”和“×”运算时，会形成一个封闭的集合，

例如：1+2=3

5×6=30

这些数字不管你怎么加，怎么乘，算出的结果，仍然是和自己一样性质的数字。也就是说在这个范围内封闭。我们把所有满足这样特性（仅仅做加法和乘法运算时会封闭）的数字，就是正整数，记做集合N+。 最早期的人们，认为正整数就是数字的全部。仅仅依靠1,2,3……这些数字，就已经铺满了数轴。

（二） 整数Z

后来随着生活水平的不断提高，减法使用的次数逐渐提高。人们发现自然数在减法上不封闭。

例如：1-1=？

3-5=？

遇到这些问题，则直接颠覆了当时人民的世界观。因为结果在正整数中找不到，于是发明了负数和0，来弥补这个问题。

虽然负数的广泛接受，经历了颇为坎坷的过程。例如法国数学家帕斯卡就认为，从3个苹果中，减去4个苹果，这是脑子有毛病吧，负数纯粹就是胡说（关于负数问题以后有空仔细分析）。

19世纪后，负数和0的概念被广泛接受，在“+""×""-"三个法则下，这些数封闭。这类数字叫整数，用"Z"表示。

（三）有理数Q

然鹅，整数并没有铺满数轴，平均分配物体问题，往往出现除不尽的时候，在“÷”运算中，往往会算出整数之外的新的数字。

例如：2÷3

3÷8

于是出现了分数。加上分数之后，“+""×""-"“÷”四大运算都会封闭的范围，整数加上分数，我们叫做有理数，记做Q。

（四）实数R

但是，后来人们发现一些数字通过开方运算时，得出的结果，仍然在有理数中找不到，例如：边长1的正方形对角线多长？

例如 a×a=2，a=？这样的数永远不能写成两个整数的商。

于是发明了无理数。有理数和无理数，我们统称为实数，记做R

（五）复数C

再后来，人们计算一元三次方程时，明明有正根，代入求根公式，判别式确是负数。根本无法开平方，而且负数开方这样的数字在有理数中找不到。

例如：b×b=-1，b=？

于是发明了虚数。实数和虚数，我们统称为复数，记做C

正是有了复数的概念，我们便可以利用““+""×""-"“÷””“开方”乘法“”各类运算，在数学的美丽世界中纵横驰骋，不用担心超纲。

综上所述：正是因为0和其他自然数一样，仅仅在：仅仅做加法和乘法运算时会封闭。例如0+6=6 ，0×3=0，做加法乘法时，得出的结果仍然没有跳出自己的范围。因此，在集合的封闭性上，0和其他自然数本质上是一样的。